Himpunan A dan B
Relasi antara himpunan A dan B merupakan
himpunan yang berisi pasangan berurut yang
mengikuti aturan tertentu.
=>> Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah merupakan himpunan bagian dari A × B
atau
R ⊆ (A × B).
2. Notasi relasi biner
a R b atau (a, b) ∈ R
=>>
a dihubungankan dengan b oleh R.
a R b atau (a, b) ∉ R
=>> a tidak dihubungkan dengan
b oleh
relasi R.
Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil
(range) dari R.
3. Sifat Relasi
A. Refleksif (reflexive)
(a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A
=>> refleksif
jika ada a ∈ A sedemikian sehingga (a, a) ∉ R =>> tidak refleksif
B. Simetri (symmetric) dan Anti Simetri (antisymmetric)
Ø(a, b) ∈ R, untuk setiap a, b ∈ A, maka (b, a) ∈ R
=>> simetri
Ø(a, b) ∈ R sementara itu (b, a) ∉ R
=>>
tidak simetri
Øuntuk setiap a, b ∈ A, (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R berlaku hanya jika a = b
=>>
anti simetri
Øistilah
simetri dan anti simetri tidaklah berlawanan, karena suatu relasi dapat
memiliki kedua sifat itu sekaligus
C. Transitif (transitive)
Defenisi :
Relasi R
pada himpunan A disebut transitif atau menghantar
Jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R,
maka (a, c) ∈ R,
untuk a, b, c ∈ A
4. Cara Penyajian Relasi
A. Penyajian Relasi dengan
Matriks
Relasi antara A = {a1, a2, …, am} dan
B = {b1, b2, …, bn}
B. Penyajian Relasi dengan Graf Berarah
Hanya untuk merepresentasikan relasi pada suatu himpunan (bukan
antara dua himpuanan)
Tiap
unsur himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex)
tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc)
Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari
simpul a ke simpul b
Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex)
Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari
simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu
disebut loop.
C. Penyajian Relasi dengan
Diagram Panah
Misalkan A = {2, 3, 4} dan B = {2, 4, 8, 9, 15}.
Jika kita definisikan relasi R dari A ke B
dengan aturan :
(a, b) ∈ R jika a faktor prima dari b
maka relasi tersebut dapat digambarkan
dengan diagram panah.
D. Penyajian Relasi berupa
Pasangan Berurut
Contoh :
Relasi pada diagram panah dapat
dinyatakan dalam
bentuk pasangan berurut, yaitu :
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 9), (3, 15)}
E. Penyajian Relasi dengan
Tabel
Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal,
sedangkan kolom kedua menyatakan daerah
hasil.
Relasi “pada” yang dijelaskan pada bagian
Diagram panah dapat sebagai berikut :
Tabel Relasi faktor prima dari
5. Relasi Ekivalen dan Relasi Terurut
Relasi ekivalen jika relasi tersebut
refleksif, simetri dan transitif
dua unsur
yang berelasi ekivalen disebut equivalent.
6. Relasi Inversi
•Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan
dengan R–1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh
R–1 = {(b, a) | (a, b) Î R }
